1. ARM与STM32之间的关系
要讨论ARM与STM32之间的关系，或者讨论ARM核与基于ARM核设计出的一系列MCU之间的关系，我认为可以从现代芯片设计方法聊起，能够得到一个比较清晰的认识。
可以先看一下STM32F103中的结构框图：
图中左上角的Cortex-M3就是ARM核中的一种，（ARM的种类在其他几位大佬的回答中，已经解释的很多了），一般包含：ALU、移位寄存器、存储器、指令译码、逻辑控制器等功能，也就是实现了MCU的核心运算功能。如果一个片上系统相当于一个人，那么ARM核的功能相当于就是人的大脑，而上图中其它的模块，就相当于人的躯干或者内脏等功能区域。
要知道现代芯片设计和生产已经高度分工，一个STM32F103芯片中的模块（也就是上图中的颜色各异的方块）并不是全部都由ST独立完成的，反而是由不同的专业团队各自设计其中的一块或几块，再由ST公司（购买后）拼接在自己设计的芯片中。
比如SPIA授权使用，CANB授权使用，ST拿到这些模块之后再通过标准总线将他们连接起来，就变成了一块MCU，虽然可能A和B就是ST或内部团队。也就是说，在设计一款芯片的时候，在一定程度上和我们去电脑城组装一台电脑有点相似，当然复杂性更高，以及更多工作要做。
所以在设计通用芯片时，会考虑到芯片的核心运算功能通用性比较高，也就是不同芯片其实对核心运算功能的要求很相似（不同人的大脑结构相似），所以不会专门花心思去设计这一部分，反而会去购买专设计出的内核。我们这里讨论的ARM核就是一种专门卖给使用的内核。
综上所述，STM32是使用了ARM核的MCU，其实除了STM32，ARM核的使用范围很广，TI与Freescale也有使用ARM核的MCU与SOC。我们通常把使用ARM核作为核心运算功能的片上系统叫做ARM芯片，于是对ARM芯片的开发，就是题主所说的ARM编程。由于ARM芯片在使用上其实大同小异，同时STM32芯片推荐使用的KEIL开发套件使用起来很好上手，所以题主通过使用STM32来入门ARM编程也是很好的。
2. 如何进行ARM编程
1. 首先学会开发工具和调试工具的使用，STM32使用的是Keil5（经 @Weyne Chen 补充：“常用的集成开发环境有IAR和Keil，官方教程多用IAR，国内多用Keil。官方为了跨平台，也在推基于gcc的集成开发环境，年初。”这么说更为准确，感谢。），网上有大量视频。这里不用学习的太精通，因为后面做项目的过程中一直可以学习。一开始主要熟悉：创建项目、编译、下载、调试就可以。
2. 开发驱动。STM32官网能够下载官方驱动Demo，已经实现了驱动的基本功能，如果没有特殊需求，已经可以直接用了。这一部分，网上有很多文章和视频有做说明。这一部分是和ARM编程最相关的部分。
这篇博客中有很多有价值的学习资料，可以参考学习：
stm32学习视频(资料）推荐_单身狗的MCU乐园_新浪博客3. 开发应用。这里已经和MCU或者ARM没有太多关系，随便怎么写软件都没问题。但是开发时还是要注意，与windows上的软件开发有很大区别，MCU的资源极其有限，运算速度也相对慢很多，要时刻注意内存溢出、延时、公共资源被占用等问题。
驱动和应用其实说到底是人为的划分，为了方便项目分工合作以及平台间移植，人为将和MCU相关的代码定义为“驱动”，而将与MCU关系不大并且主要是用来实现功能和特性的代码定义为“应用”。“驱动”和“应用”在不同的.c和.h文件中编写，驱动用来控制MCU中的硬件模块工作，应用通过调用驱动的接口来实现对MCU的控制。